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Historia de Pi

Se indica con la letra ¶ la relación constante entre la longitud de una circunferencia y su diámetro "d" o entre el área "S" de un círculo y el cuadrado de su radio "r".

Entre los números célebres, ¶ es el más célebre de todos, éste interviene en la matemática elemental en todas las cuestiones de medidas relativas a círculos, esferas, conos y cilindros, etc.

¶ está ligado con dos problemas fundamentales:

1.. Dado el radio de una circunferencia, construir un segmento de longitud "l", (problema de rectificación de la circunferencia).


2.. Dado el radio de una círculo, construir un cuadrado equivalente al círculo (problema de la cuadratura del círculo).

De estos dos problemas el más célebre es el segundo: por su cuadrimilenaria antigüedad, por la dificultad que ha presentado su solución a pesar de la sencillez de su enunciado, por los innumerables intentos infructuosos que fueron los hechos para su resolución, éste se hizo también ante los matemáticos.

En la historia de ¶, se pueden distinguir varios períodos, el primeros de ellos va desde la más remota antigüedad hasta los inicios del cálculo infinitesimal.

La más antigua de todas se encuentra en el papiro egipciano Rhind, escrito por Ahmes, 1800 a.C. y afirma que el área de un círculo es como la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, o sea igual a los 8/9 del diámetro.

2.. y se encuentra que:

3.. Una buena aproximación.

O. Neugebaver, dio la siguiente explicación a la regla egipciana. Construido el cuadrado, de lado "d" de un círculo.

Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior

Se divide cada uno de sus lados en 3 partes iguales, y se construye el octágono ABCDEFGH, cuya área es:

(5) Sustituyendo 63 por 64 se encuentra precisamente el cuadrado de los 8/9 del diámetro.

Los Babiloneses en cambio, basados en el hecho de que, el lado del hexágono regular inscrito en un círculo es igual al radio, asumían la longitud de la circunferencia igual a 6 veces el radio lo que equivale a tomar ¶ 3, aproximación bastante tosca.

Viniendo a la antigua Grecia, las primeras huellas del problema de la cuadratura del círculo se encuentran sólo en el siglo V a.C., según testimonio de Plutarco. En el 420 a.C. Ippía de Elide inventó la curva trascendente "cuadratriz" usada luego por Dinostrato en el siglo sucesivo para rectificar una circunferencia.

Antífone contemporáneo de Sócrates, afirma que si se inscribe en un círculo un cuadrado, y luego doblando sucesivamente el número de lados, se construyen los polígonos regulares inscritos de 8, 16, 32,... lados, etc. Y se llega a un polígono que por la pequeñez de sus lados coincide con el círculo. Transformándolo en un cuadrado equivalente a un círculo, su contemporáneo Brisone agregó la construcción de los polígonos regulares circunscritos, Hipócrates de Chío en la segunda mitad del siglo V a.C.; demostró que el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su diámetro, uno se puede imaginar que en esta fecha nace el símbolo ¶ con el teorema de Hipócrates de Chío, no fue así, realmente se espero 22 siglos más tarde, en el siglo XVIII, Euler utiliza el símbolo ¶ (primero escribía la letra "p" inicial de la palabra "periferia", luego utiliza el símbolo ¶).

En el siglo III a.C. Arquímedes en el tratado de la medida del círculo demuestra los siguientes teoremas:

a.-. Todo círculo es equivalente a un triángulo rectángulo, teniendo un cateto igual al radio del círculo y el otro igual a la circunferencia rectificada.


b.- Un círculo es el cuadrado de su diámetro aproximadamente como 11:14.


c.- La longitud de la circunferencia de todo círculo es menor que 3 veces el diámetro más 1/7 del mismo diámetro y es mayor que 3 veces el diámetro de mas 10/71 del diámetro. En símbolos:

(6) El método que él sigue es el mismo que usó Antífone, aplicado a los polígonos regulares inscritos y circunscritos que tengan 6,12,32,48,96, ..... lados. Después de Arquímedes la fracción 22/7 es de uso corriente en las medidas relativas al círculo, y por muchos siglos la historia registra solo algunos perfeccionamientos al método de Arquímedes que dan una mejor aproximación de ¶

Tolomeo, en el siglo II, da para ¶el siguiente valor:

(7) A partir del Siglo XII, la introducción en los cálculos del uso de las cifras indoarábicas facilitó también mejores cálculos para ¶. Leonardo Pisano, en la "Practica Geometriae" amplifica el método de Arquímedes y da para ¶ los siguientes límites.

y y adopta para ¶el valor de 3,1418......., mientras que Oronzo Fineo, en la primera mitad del 500, afirma que ¶ es exactamente igual a . El Holandés Metius da para ¶ el valor aproximado con 6 cifras decimales exactas (su hijo Adrianus Metius II, cuenta que él encontró ese valor haciendo la media aritmética de los numeradores y denominadores de las fracciones y , valores aproximados de ¶ encontrados con el método de Arquímedes).

F-Viete da nueve cifras decimales exactos usando el método de Arquímedes hasta los polígonos de lados; Adriano Romano, en 1597, obtiene 15 cifras decimales exactas con polígonos de lados; finalmente Ludolf de Colonia calcula 20 cifras decimales exactas llegando hasta los polígonos de lados y después calculó 35 cifras decimales exactas, que fueron esculpidas sobre su tumba (la tumba se perdió). En Alemania el número ¶ fue llamado el número de Ludolf, aunque éste no haya llevado en estos cálculos ningún aporte de métodos nuevos.

Huygeus perfeccionó sensiblemente el método de Arquímedes, demostrando entre otras cosas, la fórmula siguiente:

(8) Donde C indica el área de un círculo, y son las áreas de los polígonos inscritos y circunscritos con n lado. Mediante esta formula él deduce 9 cifras decimales exactas con el polígono de 60 lados.

Una simple demostración de la fórmula de Huygeus. Se sustituye el lado AB del polígono por arcos parabólicos, uno inscrito y otro circunscrito; se traza la perpendicular a la cuerda AB, esta recta pasa por los puntos O (origen del círculo), C (punto de corte entre dicha recta y el círculo).

El arco parabólico inscrito pasa por los puntos A, B y C y el arco circunscrito por AB y el punto medio del segmento DO. Y los polígonos de lados parabólicos inscritos y circunscritos que así se obtienen aproximan al círculo mucho mejor que los polígonos con el mismo número de lados rectilíneos.

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Un segundo período en la historia de ¶ va desde la segunda mitad del siglo XVII hasta 1767. En este período fueron usados para el cálculo aproximado de ¶, métodos potenciales como lo es el desarrollo del análisis, los matemáticos tenían a su disposición el desarrollo en serie, fracciones continuas, productos infinitos, etc... y estos métodos se usaron con toda eficiencia y desenvoltura. El primer desarrollo de ¶ en producto infinito lo da F-Viete en 1579.

(10) Convirtiéndose el producto de Viete en la primera definición analítica de ¶

En este trabajo recordaremos solamente los más notables desarrollos infinitos de ¶ Fórmula de Jhon Wallis: .


(11) Fórmula de Gregory y Leibniz (1556):


(12) La fórmula de Euler:

; al sustituir se obtiene:


(13) Esta fórmula relaciona el número ¶ con e, base de los logaritmos.

La fórmula de Machin (1706).

(14) Se demuestra usando el desarrollo en serie de la función arctg(x), Machin calculó 100 cifras decimales exactas de ¶

Conviene cerrar este período en 1767, año en que H. Lambert, luego de largos estudios logra demostrar el primer resultado sobre la naturaleza de ¶

En el tercer período de nuestra historia, la irracionalidad de ¶ fue de nuevo demostrada por Legendre (1794) junto con la irracionalidad de , una nueva y más simple demostración de la irracionalidad de ¶ fue dada 1947 por I. Niven. En 1844, Liouville, demostró la existencia de números trascendentes, o sea de números reales que no son raíces de ninguna ecuación algebraica de coeficientes racionales. Finalmente en 1862 F. Lindemann demostró que ¶ es un número trascendente.

Un cuarto período en la historia de ¶ son los tiempos muy recientes, con la invención de las computadoras. Después de la demostración de la irracionalidad y de la trascendencia de ¶, toma interés, con el fin de estudiar estadísticamente la frecuencia de las cifras en la expresión de ¶.

Se trata de saber si ¶ es un número normal, según la definición de E. Borel, un número cuyas cifras decimales del 0 al 9 aparezcan en media una vez sobre10, hay que conocer un gran número de cifras decimales de ¶

El profesor Francisco Duarte de Venezuela en su trabajo titulado "Monografía de los números ¶ y e", desarrolla ¶ y e, con más de cien decimales exactos.

En 1962 se calcularon 100.000 cifras en el desarrollo de ¶ (Shawks y Wrench). Hoy en día se calcula el número de cifras que uno quiera con las computadoras super modernas.

Profesor: Juan Saba S.
532532@cantv.net
Facultad de Ingeniería
Núcleo de Cagua U.C.V.

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